群と圏

　代数と呼ばれるものには群論、環論、環上の加群の話、体論、線型代数学などがありますが、同じように二項演算の話でもそれぞれ故郷が違っていて、全く性質が異なります。環や体の話などは代数学っぽいと思うことが多いですが、群なんかは写像とか構造の話に近くて、もっとプリミティブなものだなぁと感じております。

　対象が一つの圏のことをモノイドと呼びますが、この射は単位的半群を為します。特に、逆射が存在するもの（同型射）だけを集めればそれは群になります。当然ですが、逆に、任意の単位的半群、群に対してこのような圏が存在します。群や半群を考えることと、様々な数学的構造を考えることはよく似ている、ということでしょう。
　ある圏の一つの対象cと射c→cを取り出して部分圏を作ると、全ての射が為す単位的半群は自己準同型(endomorphism)、End(c)だし、群は自己同型群(automorphism)、Aut(c)という重要なものになります。
　例えば体の圏で、素体のGalois拡大で得られる体を一つ持ってきて、その同型射だけを取り出すと、Galois群が見えてきたりするわけです（実際はGalois群を計算してから圏のグラフを書いたりするのでしょうが、圏は哲学的には静的な、絵のようなものに見えるのが面白くて、絵の中に計算結果が全て描かれているというのが、すごく気持ちいいのです。あくまで個人的には、ですが）。

　群は作用させてなんぼみたいな話を聞きますが、このように圏の話の中に自然とあらわれてくるのを見ると、うーんなるほどなぁ、と思います。